Движение по окружности (кинематика, динамика)

1

Найти линейную скорость Земли v при ее орбитальном движении. Средний радиус земной орбиты R=1,5·10⁸ км.

Ответ и решение

2

Пропеллер самолета радиусом 1,5 м вращается при посадке с частотой 2000 мин^-1, посадочная скорость самолета относительно Земли равна 162 км/ч. Определить скорость точки на конце пропеллера. Какова траектория движения этой точки?

Ответ и решение

3

Диск радиусом R катится без скольжения с постоянной скоростью v. Найти геометрическое место точек на диске, которые в данный момент имеют скорость v.

Ответ

4

Цилиндрический каток радиусом R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся в одну сторону со скоростями v₁ и v₂.

Определить угловую скорость вращения катка и скорость его центра, если проскальзывание отсутствует. Решить задачу для случая, когда скорости реек направлены в разные стороны.

Ответ

5

По горизонтальной плоскости катится без скольжения с постоянной скоростью v_c обруч радиусом R. Каковы скорости и ускорения различных точек обруча относительно Земли? Выразить скорость как функцию угла между вертикалью и прямой, проведенной между точкой прикосновения обруча с плоскостью и данной точкой обруча.

Ответ

6

Автомобиль движется со скоростью v = 60 км/ч. С какой частотой n вращаются его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен d = 60 см? Найти центростремительное ускорение а_цс внешнего слоя резины на покрышках его колес.

Ответ

7

На горизонтальную плоскость кладут тонкостенный цилиндр, вращающийся со скоростью v₀ вокруг своей оси. Какой будет скорость движения оси цилиндра, когда прекратится проскальзывание цилиндра относительно плоскости?

Ответ

8

Совершает ли работу равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномерно движущемуся по окружности?

Ответ

9

Груз массой m может скользить без трения по горизонтальному стержню, вращающемуся вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Груз соединяют с этим концом стержня пружиной, коэффициент упругости которой k. При какой угловой скорости ω пружина растянется на 50% первоначальной длины?

Ответ

10

Две точечные массы m₁ и m₂ прикреплены к нити и находятся на абсолютно гладком столе. Расстояния от них до закрепленного конца нити равны l₁ и l₂ соответственно.

Система вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через закрепленный конец, с угловой скоростью ω. Найти силы натяжения участков нити Т₁ и Т₂.

Ответ

11

Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом R=4 м. С какой частотой n должна вращаться платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек не мог удержаться на ней при коэффициенте трения k=0,27?

Ответ

12

Тело массой m находится на горизонтальном диске на расстоянии r от оси. Диск начинает раскручиваться с малым ускорением. Построить график зависимости составляющей силы трения в радиальном направлении, действующей на тело, от угловой скорости вращения диска. При каком значении угловой скорости диска начнется соскальзывание тела?

Ответ

13

Камень массой m=0,5 кг, привязанный к веревке длиной l=50 см, вращается в вертикальной плоскости. Сила натяжения веревки, когда камень проходит низшую точку окружности, Т=44 Н. На какую высоту h над нижней точкой окружности поднимется камень, если веревку перерезать в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх?

Ответ

14

Спортсмен посылает молот (ядро на тросике) на расстояние l=70 м по траектории, обеспечивающей максимальную дальность броска. Какая сила Т действует на руки спортсмена в момент броска? Масса молота m=5 кг. Считать, что спортсмен разгоняет молот, вращая его в вертикальной плоскости по окружности радиусом R=1,5 м. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ

15

Автомобиль массой М=3*10³ кг движется с постоянной скоростью v=36 км/ч: а) по горизонтальному мосту; б) по выпуклому мосту; в) по вогнутому мосту. Радиус кривизны моста в последних двух случаях R=60 м. С какой силой давит автомобиль на мост (в последних двух случаях) в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α=10° с вертикалью?

Ответ

16

По выпуклому мосту, радиус кривизны которого R = 90 м, со скоростью v = 54 км/ч движется автомобиль массой m = 2 т. В точке моста, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлением на вершину моста угол α, автомобиль давит с силой F = 14 400 Н. Определить угол α.

Ответ

17

Шарик массой m = 100 г подвешен на нити длиной l =1 м. Шарик раскрутили так, что он начал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. При этом угол, составляемый нитью с вертикалью, α = 60°. Определить полную работу, совершаемую при раскручивании шарика.

Ответ

18

С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте с радиусом закругления R = 150 м, чтобы его не «занесло», если коэффициент трения скольжения шин о дорогу k = 0,42?

Ответ

19

1. Каким должен быть максимальный коэффициент трения скольжения k между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог пройти закругление радиусом R = 200 м при скорости v = 100 км/ч?

2. Автомобиль со всеми ведущими колесами, трогаясь с места, равномерно набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющему собой дугу окружности α = 30° радиусом R = 100 м. С какой максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути? Коэффициент трения колес о землю k = 0,3.

Ответ

20

Поезд движется по закруглению радиусом R = 800 м со скоростью v = 12 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего, чтобы на колесах не возникало бокового усилия. Расстояние между рельсами по горизонтали принять равным d = 1,5 м.

Ответ

21

Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом кривизны 100 м. На сколько при этом он должен наклониться, чтобы не упасть на повороте?

Ответ

22

1. С какой максимальной скоростью v может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом R = 90 м, если коэффициент трения скольжения k = 0,4?

2. На какой угол φ от вертикального направления он должен при этом отклониться?

3. Чему будет равна максимальная скорость мотоциклиста, если он будет ехать по наклонному треку с углом наклона α = 30° при том же радиусе закругления и коэффициенте трения?

4. Каким должен быть угол наклона трека α₀ для того, чтобы скорость мотоциклиста могла быть сколь угодно большой?

Ответ

23

Самолет совершает поворот, двигаясь по дуге окружности с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета повернут вокруг направления полета на угол α = 10°.

Ответ

24

На повороте дороги радиусом R = 100 м равномерно движется автомобиль. Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м, ширина колеи автомобиля а = 1,5 м. Определить скорость v, при которой автомобиль может опрокинуться. В поперечном направлении автомобиль не скользит.

Ответ

25

Шофер, едущий на автомобиле, внезапно заметил впереди себя забор, перпендикулярный направлению его движения. Что выгоднее сделать, чтобы предотвратить аварию: затормозить или повернуть в сторону?

Ответ

26

В вагоне поезда, идущего равномерно по криволинейному пути со скоростью v = 12 км/ч, производится взвешивание груза на пружинных весах. Масса груза m = 5 кг, а радиус закругления пути R = 200 м. Определить показание пружинных весов (силу натяжения пружины Т).

Ответ

27

Найти силу F_ед.об., отделяющую сливки (плотность ρ_с = 0,93 г/см³) от снятого молока (ρ_м = 1,03 г/см³) в расчете на единицу объема, если отделение происходит: а) в неподвижном сосуде; б) в центробежном сепараторе, вращающемся с частотой 6000 мин^-1, если жидкость находится на расстоянии r = 10 см от оси вращения.

Ответ

28

Самолет делает «мертвую петлю» с радиусом R = 100 м и движется по ней со скоростью v = 280 км/ч. С какой силой F тело летчика массой М = 80 кг будет давить на сиденье самолета в верхней и нижней точках петли?

Ответ

29

Определить силу натяжения Т каната гигантских шагов, если масса человека М = 70 кг и канат при вращении образует со столбом угол α = 45°. С какой угловой скоростью со будут вращаться гигантские шаги, если длина подвеса l = 5 м?

Ответ

30

Найти период Т вращения маятника, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости. Длина нити l. Угол, образуемый нитью с вертикалью, α.

Ответ

31

Грузик, подвешенный на нити, вращается в горизонтальной плоскости так, что расстояние от точки подвеса до плоскости, в которой происходит вращение, равно h. Найти частоту и вращения груза, считая ее неизменной.

Ответ

32

Люстра массой m = 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой l = 5 м. Определить высоту h, на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качениях цепь не оборвалась? Известно, что разрыв цепи наступает при силе натяжения Т > 1960 Н.

Ответ

33

Шарик массой m подвешен на нерастяжимой нити. На какой минимальный угол α_мин надо отклонить шарик, чтобы при дальнейшем движении нить оборвалась, если максимально возможная сила натяжения нити 1,5 mg?

Ответ

34

Маятник отклоняют в горизонтальное положение и отпускают. При каком угле α с вертикалью сила натяжения нити будет равна по величине действующей на маятник силе тяжести? Маятник считать математическим.

Ответ

35

Груз массой m, привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найти максимальную разность сил натяжений нити.

Ответ

36

Гимнаст «крутит солнце» на перекладине. Масса гимнаста m. Считая, что вся его масса сосредоточена в центре тяжести, а скорость в верхней точке равна нулю, определить силу, действующую на руки гимнаста в нижней точке.

Ответ

37

Один грузик подвешен на нерастяжимой нити длиной l, а другой — на жестком невесомом стержне такой же длины. Какие минимальные скорости нужно сообщить этим грузикам, чтобы они вращались в вертикальной плоскости?

Ответ

38

Шарик массой М подвешен на нити. В натянутом состоянии нить расположили горизонтально и отпустили шарик. Вывести зависимость силы натяжения нити Т от угла α, который образует в данный момент нить с горизонтальным направлением. Проверить выведенную формулу, решив задачу для случая прохождения шарика через положение равновесия, при α = 90°.

Ответ

39

Математический маятник длиной l и массой М отвели на угол φ₀ от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость v₀, направленную перпендикулярно к нити вверх. Найти силу натяжения нити маятника Т в зависимости от угла φ нити с вертикалью.

Ответ

40

Грузик, подвешенный на нити, отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой угол с вертикалью α образует пить в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости грузика наибольшая?

Ответ

41

Одинаковые упругие шарики массой m, подвешенные на нитях равной длины к одному крючку, отклоняют в разные стороны от вертикали на угол α и отпускают. Шарики ударяются и отскакивают друг от друга. Какова сила F, действующая на крючок: а) при крайних положениях нитей; б) в начальный и конечный моменты удара шариков; в) в момент наибольшей деформации шариков?

Ответ

42

Математическому маятнику с гибкой нерастяжимой нитью длиной l сообщают из положения равновесия горизонтальную скорость v₀. Определить максимальную высоту его подъема h при движении по окружности, если v₀² = 3gl. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после того, как он достиг максимальной высоты подъема h на окружности? Определить максимальную высоту H, достигаемую при этом движении маятника.

Ответ

43

Маленький шарик подвешен в точке А на нити длиной l. В точке О на расстоянии l/2 ниже точки А в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают. В какой точке траектории исчезает сила натяжения нити? Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик?

Ответ

44

Сосуд, имеющий форму расширяющегося усеченного конуса с диаметром дна D = 20 см и углом наклона стенок α = 60°, вращается вокруг вертикальной оси 00₁. При какой угловой скорости вращения сосуда ω маленький шарик, лежащий на его дне, будет выброшен из сосуда? Трение не учитывать.

Ответ

45

Сфера радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг оси симметрии с частотой 30 мин^-1. Внутри сферы находится шарик массой m = 0,2 кг. Найти высоту h, соответствующую положению равновесия шарика относительно сферы, и реакцию сферы N.

Ответ

46

Внутри конической поверхности, движущейся с ускорением a, вращается шарик по окружности радиусом R. Определить период Т движения шарика по окружности. Угол при вершине конуса 2α.

Ответ

47

Небольшое тело массой m соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в мертвую петлю радиусом R.

Трение ничтожно мало. Определить: а) какова должна быть наименьшая высота h ската, чтобы тело сделало полную петлю, не выпадая; б) какое давление F при этом производит тело на помост в точке, радиус-вектор которой составляет угол α с вертикалью.

Ответ

48

Лента конвейера наклонена к горизонту под углом α. Определить минимальную скорость ленты v_мин, при которой частица руды, лежащая на ней, отделяется от поверхности ленты в месте набегания ее на барабан, если радиус барабана равен R.

Ответ

49

Небольшое тело скользит с вершины сферы вниз. На какой высоте h от вершины тело оторвется от поверхности сферы радиусом R? Трением пренебречь.

Ответ

50

Найти кинетическую энергию обруча массой m, катящегося со скоростью v. Проскальзывания нет.

Ответ

51

Тонкий обруч без проскальзывания скатывается в яму, имеющую форму полусферы. На какой глубине h сила нормального давления обруча на стенку ямы равна его силе тяжести? Радиус ямы R, радиус обруча r.

Ответ

52

Маленький обруч катится без скольжения по внутренней поверхности большой полусферы. В начальный момент у ее верхнего края обруч покоился. Определить: а) кинетическую энергию обруча в нижней точке полусферы; б) какая доля кинетической энергии приходится на вращательное движение обруча вокруг его оси; в) нормальную силу, прижимающую обод к нижней точке полусферы. Масса обруча равна m, радиус полусферы R.

Ответ

53

Вода течет по трубе, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом R = 2 м. Найти боковое давление воды. Диаметр трубы d = 20 см. Через поперечное сечение трубы в течение одного часа протекает М = 300 т воды.

Ответ

54

Тело соскальзывает из точки А в точку В по двум искривленным наклонным поверхностям, проходящим через точки A и В один раз по выпуклой дуге, второй — по вогнутой. Обе дуги имеют одинаковую кривизну и коэффициент трения в обоих случаях один и тот же.

В каком случае скорость тела в точке B больше?

Ответ

55

Стержень ничтожной массы длиной l с двумя маленькими шариками m₁ и m₂ (m₁ > m₂) на концах может вращаться около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловую скорость ω и силу давления F на ось в момент прохождения стержнем с шариками положения равновесия.

Ответ

56

На виток цилиндрической спирали, ось которой вертикальна, надевают маленькое колечко массой m. Колечко без трения начинает скользить по спирали. С какой силой F будет колечко давить на спираль после того, как оно пройдет n полных витков? Радиус витка R, расстояние между соседними витками h (шаг витка). Считать h ≪ R.

Ответ

57

Замкнутая металлическая цепочка лежит на гладхом горизонтальном диске, будучи свободно насажена на центрирующее ее кольцо, соосное с диском. Диск приведен во вращение. Принимая форму цепочки за горизонтальную окружность, определить силу натяжения Т вдоль цепочки, если ее масса m = 150 г, длина l = 20 см и цепочка вращается с частотой n = 20 с^-1.

Ответ

58

Реактивный самолет m = 30 т летит вдоль экватора с запада на восток со скоростью v = 1800 км/ч. На сколько изменится подъемная сила, действующая на самолет, если он будет лететь с той же скоростью с востока на запад?

Ответ